Поспелова Анна поступила в Московский областной музыкальный колледж имени С.С. Прокофьева в 2002 году на факультет специального фортепиано. Училась в классе Г.П. Вершининой по специальности, у М.Л. Решиной по камерному ансамлблю, по теоретическим предметам у И.Г. Мартыновой и Э.М. Хуторянской. Со 2-ого курса начала заниматься композицией в классе Е.М. Стасеевой.
В 2006 году окончила колледж с отличием. За годы обучения в колледже становилась лауреатом внутриучилищных конкурсов по фортепиано (специальности), по чтению с листа, по композиции. Так же становилась лауреатом Первого и Второго Московских областных конкурсов композиции и импровизации имени С.С. Прокофьева (II степени, 2004 г., I степени, 2006 г.).
В 2007 году поступила в Московскую государственную консерваторию имени П.И. Чайковского на композиторский факультет в класс профессора Т.А. Чудовой. Со 2-ого курса так же обучалась композиции для духового оркестра (класс И.Н. Савинова). А с 3-его курса – электронной композицией в классе профессора И.Л. Кефалиди. За годы обучения в консерватории становилась лауреатом внутривузовского конкурса по импровизации.
Так же участвовала в фестивалях: 8-ом Московском Международном фестивале камерной музыки (Москва, 2008 г.), Московская Осень (Москва, 2009 г., 2010 г.), фестивале Coup De Vents (Франция, 2010 г.) В 2010 году стала лауреатом 10-ого Международного конкурса композиторов имени Ю.В. Семеняко (Белоруссия, 2010 г., III премия).
Сочинения Поспеловой А. исполнялись в концертных залах России (Белый, Рахманиновский, Малый, Большой Залы МГК, Большой концертный зал Дома Композиторов), Франции, Белоруссии, Казахстана, Турции.